Подробности
28.01.2010 12:08
Страница 10 из 19

 

 

Управление неопределенными системами

В 1997-2001 году продолжались исследования, связанные с задачами управления неопределенными системами. В основном рассматривались неопределенности двух типов. К первому типу относятся неопределенности в коеффициентах и в нелинейностях, которые можно описать системой квадратичных ограничений. Ранее [65] был установлен общий "квадратичный критерий", относящийся к системам, описываемым линейными (дифференциальными, интегральными и др.) уравнениями с интегральными квадратичными ограничениями. Этот критерий преобразует по некоторому правилу квадратичные ограничения в эффективно проверяемое "частотное условие", гарантирующее абсолютную устойчивость расматриваемой системы. В работах [66,67] доказано, что этот критерий во всех рассматриваемых случаях является не только достаточным, но также и необходимым условием абсолютной устойчивости расширенной системы, что придает завершенность этому критерию. Ко второму типу рассматриваемых неопределенностей относятся неопределенности во внешних воздействиях. Например, известно лишь, что внешнее воздействие – гармонический сигнал с известным спектром, но с неизвестными фазами и амплитудами гармоник, либо это – стационарный процесс с неполностью известной спектральной плотностью. Задан функционал, квадратично зависящий от подлежащего определению управляющего воздействия. Требуется найти управление, минимизирующее этот функционал. Ясно, что если отбросить тривиальные случаи, то оптимальное управление зависит от неизвестного внешнего воздействия. Можно получить явную формулу для оптимального управления, выражающую оптимальное управление в фиксированный момент времени через будущие значения внешнего воздействия, которой воспользоваться, естественно, нельзя. К этому же классу задач относятся задачи об инвариантности, когда внешнее воздействие произвольно, а управление должно быть выбрано так, чтобы заданный выход системы не зависел от внешнего воздействия. Последняя задача имеет длинную историю. Перед войной ей была посвящена специальная дискуссия, а после войны – регулярные конференции. Обычный подход к этим задачам основан на ориентации на самый плохой случай, и для этого варианта мы строим наилучшее управление (минимаксный подход, H∞ - оптимизация). Поскольку, однако, реально может осуществиться не самый плохой случай, то такой выбор управления может оказаться далеким от оптимального.

Нас же интересует оптимальное управление. Первое впечатление от этих задач – кажется, что они не имеют решения. Это действительно так для некоторых задач такого рода. Однако, для многих таких задач, притом наиболее практически интересных, ситуация иная. Если искать не оптимальное управление, а оператор, доставляющий реализуемое оптимальное управление по неизвестному внешнему воздействию, то такой оператор, называемый универсальным регулятором, может быть найден. Универсальный регулятор доставляет, таким образом, одновременно решение семейству оптимизационных задач, выдавая оптимальное управление по реализации заранее неизвестной внешней помехи (или другой заранее неизвестной величины). С инженерной точки зрения решение в виде регулятора предпочтительнее "программного" управления, задающего управление как функцию времени. Задачам построения универсальных регуляторов посвящены работы [68-80]. В работах [68, 69, 80] дано решение ряда проблем инвариантности, обсуждавшихся в предвоенной дискуссии, в которой принимали участие многие видные ученые, в том числе Н.Н.Лузин, С.А.Христианович, Б.Н.Петров, Ф.Р.Гантмахер, П.И.Кузнецов и другие.