Подробности
28.01.2010 12:08
Страница 4 из 19

Динамика нелинейных систем

В конце 50-х годов румынский математик В.М.Попов, использовав для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем метод априорных интегральных оценок, получил достаточные условия устойчивости в частотной форме, которая инвариантна относительно линейных неособенных преобразований координат и удобна для приложений. Им же было показано, что эти условия необходимы для существования функции Ляпунова определенного класса. Являются ли они для этого и достаточными? Утвердительный ответ на этот вопрос был получен в 1962 году В.А.Якубовичем в виде ставшей впоследствии знаменитой частотной теоремы [15-18]. В настоящее время, вслед за западными учеными, ее часто называют леммой Якубовича - Калмана или Калмана - Якубовича - Попова. (Работа Р.Калмана, опубликованная годом позже, содержит другое доказательство.). Эта теорема дает эффективные условия разрешимости нелинейных уравнений А.И.Лурье и позволяет строить функции Ляпунова определенных классов как для исследования абсолютной устойчивости, так и для изучения неустойчивости и автоколебательности нелинейных систем. Она нашла широкое применение не только в исследованиях динамики нелинейных систем, но и в теории оптимального и адаптивного управления, оптимальной фильтрации. В 1973 г. В.А.Якубовичем была доказана неущербность S-процедуры (для одной квадратичной связи), предложенной А.И.Лурье (1951) и применяемой многими авторами. С использованием частотной теоремы В.А.Якубович установил "квадратичный" критерий абсолютной устойчивости, позволяющий преобразовывать любые интегральные квадратичные ограничения, наложенные на входы и выходы нелинейных блоков, в некоторое частотное условие, необходимое и достаточное для абсолютной устойчивости. Этот подход был развит для систем с монотонными нелинейностями в докторской диссертации Н.Е.Барабановым.

С помощью частотной теоремы А.Х.Гелиг изучал устойчивость нелинейных систем с разрывными нелинейностями и неединственным состоянием равновесия. Им же совместно с А.Н.Чуриловым многие критерии устойчивости и колебательности непрерывных нелинейных систем распространены с помощью метода усреднения на импульсные системы, описываемые функционально-дифференциальными уравнениями с разрывными нелинейными операторами [19]- [21].

Г.А.Леоновым и его учениками исследовались системы с периодическими относительно фазовых координат нелинейностями [22-25] – фазовые системы, или системы с цилиндрическим фазовым пространством, которые имеют большое значение для теории фазовой синхронизации. В двумерном случае эти системы хорошо изучены Ф.Трикоми, А.А.Андроновым, их учениками и последователями. Г.А.Леонов рассмотрел многомерный случай. Им разработан метод нелокального сведения, основанный на конструировании функции Ляпунова для многомерной системы на основе частотной теоремы и информации о поведении решений специально построенной двумерной системы. В результате при выполнении некоторого частотного условия у многомерной системы гарантируется наличие тех же динамических свойств, какими обладает двумерная система. Эти результаты приобрели большую популярность среди прикладников, коллектив которых вместе с Г.А.Леоновым был удостоен Государственной премии СССР. В [24,25] метод нелокального сведения был распространен на фазовые системы с распределенными параметрами.

В 60-е годы в прикладной математике было сделано важное открытие – с помощью компьютерных экспериментов была обнаружена возможность "хаоса" в гладких динамических системах. К настоящему времени усилиями многих ученых создана теория детерминированного хаоса. В создании такой теории приняли активное участие сотрудники кафедры теоретической кибернетики. Их исследования сосредоточились в трех направлениях: изучение гомоклинических орбит в гладких диссипативных динамических системах, локализация глобальных аттракторов и оценки их мер и размерностей, исследования неустойчивости траекторий и оценки ляпуновских экспонент. В этих направлениях получены следующие основные результаты [26-27]: найдено необходимое и достаточное условие существования бифуркации в системе Лоренца, соответствующей гомоклинической орбите седла; введены функции Ляпунова в оценки ляпуновской, хаусдорфовой и фрактальной размерности аттракторов; с их помощью доказана гипотеза Идена об оценке размерности аттрактора Лоренца; показано, что наиболее адекватна хаотической динамике на аттракторах неустойчивость в смысле Жуковского и получены критерии неустойчивости по Жуковскому.

В 1986 году Г.А.Леоновым был предложен метод стабилизации неустойчивых нелинейных систем периодическим внешним воздействием. В дальнейшем этот метод был развит А.Л.Фрадковым для синхронизации хаотических колебаний [28].