Подробности
28.01.2010 12:08
Страница 16 из 19

 

 

Синтез Η∞ -оптимальных регуляторов и фильтров

При построении моделей многих динамических систем в механике, навигации, акустике и других областях применения теории временных рядов первым приближением часто выбирается линейное дифференциальное или разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Замкнутая система, состоящая из реального объекта и системы управления или оценивания, имеет входом только временной ряд, описывающий шумы и возмущения, не учтенные в модели. Выходом замкнутой системы является отклонение реального движения от расчетного, и это отклонение требуется минимизировать.

Динамический блок при нулевых начальных данных порождает отображение множества входных функций в множество выходных функций. Если входные возмущения и выходные отклонения измерять в норме пространств L2, а блок стационарный, линейный и устойчивый, то норма порождаемого отображения совпадает с нормой передаточной функции в пространстве Харди (H∞). Задачу синтеза регулятора или фильтра с целью минимизации этой нормы принято называть H∞-оптимизацией.

Теория H∞-оптимального управления и оценивания, которая началась, по-видимому, с работ Г. Зеймса и М. Сафонова (использовавшего результаты Д.З. Арова и М.Г. Крейна), бурно развивалась в последние 15 лет. Можно отметить спектральную теорию, изложенную в монографии Б.~Френсиса и давшую первые решения простейших задач H∞-оптимального управления, метод пространства состояний или метод двух уравнений Риккати, изложенный в статье К. Гловера и Дж. Дойла, полиномиальный подход Х. Квакернаака и многие другие работы, доложенные на специальных секциях крупнейших международных конференций по теории управления.

Явные решения и численные алгоритмы были получены в основном для систем с матричными рациональными передаточными функциями. Это связано, в частности, с большой популярностью метода уравнений Лурье - Риккати. Для систем с запаздыванием вектор состояний становится бесконечномерным, а уравнение Лурье - Риккати из матричного преобразуется в операторное. Решение последнего уравнения представляет значительную вычислительную трудность. Лишь в последние годы в работах Г. Мейнсмы и ряда других авторов появляются алгоритмы расчета регуляторов и фильтров в простейших системах с запаздыванием.

В конце 90-х годов был разработан новый метод синтеза H∞-оптимальных регуляторов, основанный на решении одного линейного функционального уравнения и названный также φ-подходом [132-134]. Он позволяет непосредственно вычислять параметры оптимальных и субоптимальных регуляторов без обращения к многочисленным вспомогательным процедурам параметризации, матричным уравнениям и другим преобразованиям. Метод был распространен на непрерывные системы с запаздыванием по возмущению [134, 135]. Далее была доказана теорема двойственности задач H∞-оптимального управления и фильтрации для систем в терминах вход-выход [136]. По этой двойственности задачи оптимальной интерполяции в непрерывном времени сводятся к соответствующим задачам управления, которые решаются методом линейного функционального уравнения.

Сформулирован численный алгоритм расчета параметров H∞-оптимального фильтра для систем со скалярными входом и выходом. В [136, 137] приведены решения в двух частных случаях: для объектов первого и второго порядков. Объект второго порядка может моделировать волновое возмущение, а его интерполяция может быть применена в задачах подавления возмущений на радарном изображении морской поверхности.