Подробности
28.01.2010 12:08
Страница 2 из 19

Параметрические колебания.

Хронологически исследования начались с изучения устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Такими уравнениями описываются многие механические системы, параметры которых по тем или иным причинам периодически изменяются во времени. Известно, что в таких системах при определенных условиях возможен параметрический резонанс. В отличие от обычного резонанса вынужденных колебаний, возникающего в результате совпадения частоты внешнего аддитивного возмущения с собственной частотой колебаний механической системы, при параметрическом резонансе колебания обычно возрастают во времени по экспоненциальному закону и в меньшей степени демпфируются силами трения, что делает их особенно опасными в тех прикладных задачах, в которых желательно избегать резонансных явлений. Эти и другие задачи привели к необходимости построения общей математичекой теории линейных периодических гамильтоновых систем: она изложена в [1-3] и др.; в [1,3] наряду с результатами многих авторов приведены также разнообразные результаты В.А.Якубовича. Упомянем два из них. Хорошо известен критерий А.М.Ляпунова устойчивости решений уравнения Хилла. (Этот критерий неулучшаем в некотором естественном смысле.) В.А.Якубовичем доказана гипотеза И.М.Гельфанда о том, что в функциональном пространстве коэффициентов двумерных гамильтоновых систем (уравнение Хилла сводится к такой системе) множество коэффициентов, соответствующее устойчивым системам, распадается на счетное число связных областей. Критерий Ляпунова относится к одной такой области. В.А.Якубович получил критерии устойчивости для каждой области. (Все эти критерии неулучшаемы в том же смысле, что и критерий Ляпунова.) Второй результат: установлена аналитичность границ областей динамической неустойчивости определенного вида и предложен метод их вычисления. Как следствие было показано, что, вопреки бытующему в то время мнению, во многих прикладных задачах наиболее опасен комбинационный резонанс. В [1] также кратко описаны результаты, полученные В.И.Дергузовым и В.Н.Фоминым по параметрическому резонансу в системах с распределенными параметрами, более полно эти результаты изложены в [4]. В частности, в [4] дано обоснование метода Галеркина, с помощью которого гамильтонова система с бесконечным числом степеней свободы редуцируется к конечномерной системе. В [5] аналогичный результат получен для систем антигамильтонова типа, описывающих колебания акустических и электромагнитных полей в различного рода волноводах.