Подробности
28.01.2010 12:08

История кафедры теоретической кибернетики

Кафедра теоретической кибернетики математико-механического факультета Ленинградского-Петербургского государственного университета возникла в 1970 г. на основе лаборатории, открытой в Научно-Исследовательском Институте Математики и Механики университета еще в 1959 г. К этому времени уже сложился научный коллектив, активно разрабатывающий ряд направлений математической кибернетики.

С момента образования коллектив возглавлял В.А.Якубовичем . Научная продукция его сотрудников исчисляется многими сотнями публикаций, среди которых более шести десятков книг. Воспитанники кафедры плодотворно работают во многих российских и зарубежных научно-педагогических учреждениях, ими защищено свыше сотни диссертаций по физико-математическим и техническим наукам (в том числе 18 докторских).

Приведём краткий обзор научной деятельности коллектива, ограничиваясь, по необходимости, упоминанием лишь некоторых основных результатов, полученных сотрудниками кафедры теоретической кибернетики (лаборатория рассматривается как составная часть кафедры).


Параметрические колебания.

Хронологически исследования начались с изучения устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Такими уравнениями описываются многие механические системы, параметры которых по тем или иным причинам периодически изменяются во времени. Известно, что в таких системах при определенных условиях возможен параметрический резонанс. В отличие от обычного резонанса вынужденных колебаний, возникающего в результате совпадения частоты внешнего аддитивного возмущения с собственной частотой колебаний механической системы, при параметрическом резонансе колебания обычно возрастают во времени по экспоненциальному закону и в меньшей степени демпфируются силами трения, что делает их особенно опасными в тех прикладных задачах, в которых желательно избегать резонансных явлений. Эти и другие задачи привели к необходимости построения общей математичекой теории линейных периодических гамильтоновых систем: она изложена в [1-3] и др.; в [1,3] наряду с результатами многих авторов приведены также разнообразные результаты В.А.Якубовича. Упомянем два из них. Хорошо известен критерий А.М.Ляпунова устойчивости решений уравнения Хилла. (Этот критерий неулучшаем в некотором естественном смысле.) В.А.Якубовичем доказана гипотеза И.М.Гельфанда о том, что в функциональном пространстве коэффициентов двумерных гамильтоновых систем (уравнение Хилла сводится к такой системе) множество коэффициентов, соответствующее устойчивым системам, распадается на счетное число связных областей. Критерий Ляпунова относится к одной такой области. В.А.Якубович получил критерии устойчивости для каждой области. (Все эти критерии неулучшаемы в том же смысле, что и критерий Ляпунова.) Второй результат: установлена аналитичность границ областей динамической неустойчивости определенного вида и предложен метод их вычисления. Как следствие было показано, что, вопреки бытующему в то время мнению, во многих прикладных задачах наиболее опасен комбинационный резонанс. В [1] также кратко описаны результаты, полученные В.И.Дергузовым и В.Н.Фоминым по параметрическому резонансу в системах с распределенными параметрами, более полно эти результаты изложены в [4]. В частности, в [4] дано обоснование метода Галеркина, с помощью которого гамильтонова система с бесконечным числом степеней свободы редуцируется к конечномерной системе. В [5] аналогичный результат получен для систем антигамильтонова типа, описывающих колебания акустических и электромагнитных полей в различного рода волноводах.


Обучаемые распознающие системы

В начале 60-х годов в связи с потребностями приборостроения (главным образом в военной области) во всем мире, в том числе на кафедре теоретической кибернетики, стала интенсивно развиваться теория обучаемых распознающих систем. Исследование проводилось по трем основным направлениям: 1) аппроксимационный (персептронный) подход к задаче распознавания, 2) методы математической логики в распознавании образов, 3) бионический подход к проблеме распознавания.

Первое направление характерно тем, что неизвестная дискриминантная функция аппроксимируется линейными комбинациями заданной системы функций ("признаков"). Коэффициенты линейной комбинации находятся с помощью обучающей последовательности – конечной последовательности точек, в которых известны значения аппроксимируемой дискриминантной функции, что позволяет получить систему линейных неравенств для этих коэффициентов. Всякий алгоритм решения системы неравенств называется алгоритмом обучения. В [6] предложено в качестве аппроксимирующих функций выбирать пороговые функции, там же была установлена возможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции на компакте пороговыми функциями и разработан метод рекуррентных конечно-сходящихся алгоритмов, которые удобно использовать в качестве алгоритмов обучения.

В рамках метода конечно-сходящихся алгоритмов были предложены разнообразные рекуррентные алгоритмы обучения распознающих систем (Б.Н.Козинец, В.Н.Фомин, В.А.Якубович). Эти алгоритмы приведены в [7,8]. Используя алгоритм построения плоскости, разделяющей выпуклые оболочки точечных множеств, Б.Н.Козинец и с.н.с. Криминалистической лаборатории г. Ленинграда Р.М.Ланцман впервые в нашей стране успешно провели эксперименты по криминалистической экспертизе почерка с помощью ЭВМ [8]. (Алгоритм основывался на гипотезе В.А.Якубовича о характере стереотипа письма.) В [9] подведены определенные итоги использования метода рекуррентных конечно-сходящихся алгоритмов, уточнена структура алгоритмов обучения с поощрением и получены их стохастические аналоги. Если дискриминантная функция "устроена" достаточно сложно либо "признаки" выбраны неудачно, то упомянутые выше линейные неравенства могут оказаться неразрешимыми. Тогда коэффициенты линейной аппроксимации естественно определять с помощью метода наименьших квадратов. Особенностью задач распознавания является плохая обусловленность получаемой при этом системы линейных алгебраических уравнений (вызванная "почти зависимостью" аппроксимирующих (или признаковых) функций на обучающей последовательности). Для преодоления этой трудности А.Х.Гелигом был предложен алгоритм, который вместо точного решения системы линейных уравнений доставляет "квазирешение", обеспечивающее равномерную малость невязок системы. Это "квазирешение" мало чувствительно к плохой обусловленности матрицы коэффициентов линейной системы уравнений; идея предложенного А.Х.Гелигом алгоритма состоит в последовательной "отбраковке" плохих признаков с последующей аппроксимацией дискриминантной функции с помощью отобранных "хороших" признаковых функций. Алгоритм является обобщением известного алгоритма Гаусса решения невырожденных линейных алгебраических систем, приведен в удобной для приложений форме. С его помощью было решено большое количество прикладных задач по заказам приборостроительных предприятий. Подробно алгоритм описан в [9].

Второе направление широко использует предикатное исчисление: дискриминантная функция аппроксимируется с помощью конъюкций и дизъюнкций, выстраиваемых по обучающейся последовательности. Основная проблема здесь состоит в возможности упрощения аппроксимирующей функции путем сокращения числа используемых при ее синтезе логических операций. В [10] описан метод такого сокращения, подстраивающийся под конкретную задачу распознавания.

В начале 70-х годов в лаборатории теоретической кибернетики была создана группа бионики под руководством Р.М.Грановской. Ее задачей было изучение механизмов памяти живых сушеств, исследование феноменов восприятия и узнавания. Группой был проведен большой объем экспериментальных и теоретических исследований [11-13]; полученные результаты широко внедрялись в заинтересованных организациях.

В конце 70-х – начале 80-х годов А.А.Шмидтом и В.В.Харичевым под руководством В.А.Якубовича исследовалась задача обучения системы нахождению (выделению) объектов заданного класса на сложном фоне, образованном объектами других классов и помехами (задача построения "смыслового фильтра"). Этим же коллективом решалась задача обучения распознающей системы понятиям типа "большой", "маленький", "вверху", "справа" и т.п., а также задача автоматического описания изображения. В основу алгоритмов обучения были положены инварианты различных групп преобразований (повороты, переносы и т.п.) плоскости в себя ([14] и др.).

В конце 60-х - начале 70-х годов Л.В.Бондарко совместно с кафедрой фонетики проводила теоретические и прикладные исследования по автоматизации распознавания речевых сигналов, было предложено лингвистическое и фонетическое обоснование работы антропоморфных систем распознавания и синтеза речи.

Особо следует упомянуть исследования, проведенные Э.И. Нечипоруком в конце 60-х годов по оценке сложности вентильных схем, реализующих логические функции. По этой тематике им была защищена докторская диссертация.


Динамика нелинейных систем

В конце 50-х годов румынский математик В.М.Попов, использовав для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем метод априорных интегральных оценок, получил достаточные условия устойчивости в частотной форме, которая инвариантна относительно линейных неособенных преобразований координат и удобна для приложений. Им же было показано, что эти условия необходимы для существования функции Ляпунова определенного класса. Являются ли они для этого и достаточными? Утвердительный ответ на этот вопрос был получен в 1962 году В.А.Якубовичем в виде ставшей впоследствии знаменитой частотной теоремы [15-18]. В настоящее время, вслед за западными учеными, ее часто называют леммой Якубовича - Калмана или Калмана - Якубовича - Попова. (Работа Р.Калмана, опубликованная годом позже, содержит другое доказательство.). Эта теорема дает эффективные условия разрешимости нелинейных уравнений А.И.Лурье и позволяет строить функции Ляпунова определенных классов как для исследования абсолютной устойчивости, так и для изучения неустойчивости и автоколебательности нелинейных систем. Она нашла широкое применение не только в исследованиях динамики нелинейных систем, но и в теории оптимального и адаптивного управления, оптимальной фильтрации. В 1973 г. В.А.Якубовичем была доказана неущербность S-процедуры (для одной квадратичной связи), предложенной А.И.Лурье (1951) и применяемой многими авторами. С использованием частотной теоремы В.А.Якубович установил "квадратичный" критерий абсолютной устойчивости, позволяющий преобразовывать любые интегральные квадратичные ограничения, наложенные на входы и выходы нелинейных блоков, в некоторое частотное условие, необходимое и достаточное для абсолютной устойчивости. Этот подход был развит для систем с монотонными нелинейностями в докторской диссертации Н.Е.Барабановым.

С помощью частотной теоремы А.Х.Гелиг изучал устойчивость нелинейных систем с разрывными нелинейностями и неединственным состоянием равновесия. Им же совместно с А.Н.Чуриловым многие критерии устойчивости и колебательности непрерывных нелинейных систем распространены с помощью метода усреднения на импульсные системы, описываемые функционально-дифференциальными уравнениями с разрывными нелинейными операторами [19]- [21].

Г.А.Леоновым и его учениками исследовались системы с периодическими относительно фазовых координат нелинейностями [22-25] – фазовые системы, или системы с цилиндрическим фазовым пространством, которые имеют большое значение для теории фазовой синхронизации. В двумерном случае эти системы хорошо изучены Ф.Трикоми, А.А.Андроновым, их учениками и последователями. Г.А.Леонов рассмотрел многомерный случай. Им разработан метод нелокального сведения, основанный на конструировании функции Ляпунова для многомерной системы на основе частотной теоремы и информации о поведении решений специально построенной двумерной системы. В результате при выполнении некоторого частотного условия у многомерной системы гарантируется наличие тех же динамических свойств, какими обладает двумерная система. Эти результаты приобрели большую популярность среди прикладников, коллектив которых вместе с Г.А.Леоновым был удостоен Государственной премии СССР. В [24,25] метод нелокального сведения был распространен на фазовые системы с распределенными параметрами.

В 60-е годы в прикладной математике было сделано важное открытие – с помощью компьютерных экспериментов была обнаружена возможность "хаоса" в гладких динамических системах. К настоящему времени усилиями многих ученых создана теория детерминированного хаоса. В создании такой теории приняли активное участие сотрудники кафедры теоретической кибернетики. Их исследования сосредоточились в трех направлениях: изучение гомоклинических орбит в гладких диссипативных динамических системах, локализация глобальных аттракторов и оценки их мер и размерностей, исследования неустойчивости траекторий и оценки ляпуновских экспонент. В этих направлениях получены следующие основные результаты [26-27]: найдено необходимое и достаточное условие существования бифуркации в системе Лоренца, соответствующей гомоклинической орбите седла; введены функции Ляпунова в оценки ляпуновской, хаусдорфовой и фрактальной размерности аттракторов; с их помощью доказана гипотеза Идена об оценке размерности аттрактора Лоренца; показано, что наиболее адекватна хаотической динамике на аттракторах неустойчивость в смысле Жуковского и получены критерии неустойчивости по Жуковскому.

В 1986 году Г.А.Леоновым был предложен метод стабилизации неустойчивых нелинейных систем периодическим внешним воздействием. В дальнейшем этот метод был развит А.Л.Фрадковым для синхронизации хаотических колебаний [28].


Оптимальная фильтрация

Возможны различные постановки задачи фильтрации (обработки зашумленных сигналов с целью подавления помех). Наибольшее признание получили теория Винера-Колмогорова оптимальной фильтрации стационарных процессов и теория рекуррентной фильтрации Калмана - Бьюси. В каждой их этих теорий критерием оптимальности является среднеквадратичная погрешность фильтрации, но в теории Винера-Колмогорова не предполагается задание параметрической модели частично-наблюдаемого процесса, тогда как в теории Калмана-Бьюси такой моделью является конечномерный формирующий фильтр (возможно, нестационарный), возбуждаемый белошумным процессом. В [29] развита общая теория линейной оптимальной фильтрации, в рамках которой теории Винера-Колмогорова и Калмана-Бьюси выступают как ее специальные варианты. Построение такой теории оказалось возможным на основе теории линейных каузальных операторов в причинном гильбертовом пространстве, одной из основных здесь является проблема спектральной факторизации положительных операторов.

Развитый в [29] вариант теории фильтрации позволил решить ряд задач оптимальной фильтрации нестационарных процессов, не укладывающихся в рамки теории Калмана-Бьюси. В [30,31] дано дальнейшее развитие теории линейной фильтрации. Здесь установлена глубокая связь задач оптимальной (по среднеквадратичному критерию) линейной фильтрации с линейно-квадратичной задачей оптимального управления, разработана теория спектральной факторизации линейных положительных операторов в дискретном причинном гильбертовом пространстве и получен абстрактный аналог метода Винера решения задачи оптимальной фильтрации (что позволило в рамках абстрактной теории фильтрации получить представление оптимального фильтра в форме Боде-Шеннона). В [5], [30], [31] подведены также определенные итоги развития абстрактной теории линейной оптимальной фильтрации и описаны разнообразные прикладные задачи, в том числе задача (в различных постановках) выделения полезного сигнала (наблюдаемого на фоне помехи), задача пространственно-временной фильтрации, а также некоторые задачи обработки дискретных стохастических полей.

А.Е.Барабанов, развивая тему, предложенную В.А. Якубовичем, создал [32] новую теорию обновляющихся процессов, аналогичную теории случайных процессов и позволяющую моделировать неопределенные возмущения без привлечения понятия вероятности. Эта теория имеет важное значение, в частности, для теории минимаксной фильтрации. А.Е.Барабановым и В.А.Бондарко выполнены важные прикладные работы по "фильтрационной" тематике: разработано алгоритмическое и программное обеспечение для ряда технических систем, в частности для систем слежения за космическими объектами.


Оптимальное управление

Большой цикл работ, инициированный в середине 60-х годов, был посвящен линейно-квадратичной теории оптимального управления. Ее специализация – разнообразные оптимизационные задачи, сводящиеся к минимизации квадратичного функционала на аффинном пространстве. Начиная с 60-х годов и до настоящего времени она продолжает интенсивно развиваться во всем мире, завоевав репутацию одного из наиболее значимых с практической точки зрения разделов теории оптимального управления.

Центральная идея этого цикла работ – частотная теорема [15-18], являющаяся эффективным средством решения разнообразных линейно-квадратичных задач оптимизации. В частности, синтез оптимального регулятора в дискретной линейно-квадратичной задаче осуществлен на основе частотной теоремы В.А.Андреевым, А.И.Шепелявым [33,34], а также С.Г.Семеновым [35].

В 90-х годах этот цикл работ получил продолжение в исследованиях, посвященных распространению методов классической теории линейно-квадратичной оптимизации на аналогичные задачи с квадратичными ограничениями. Точнее, речь идет об определенном общем подходе, позволяющем стандартным образом строить эффективные алгоритмы решения специальных невыпуклых задач глобальной оптимизации на базе методов линейно-квадратичной теории оптимального управления. В отличие от большинства известных методов невыпуклой глобальной оптимизации, которые в основной массе являются вычислительными, часто основаны на эвристических идеях и не всегда сопровождаются гарантией сходимости, упомянутые алгоритмы основаны на математической теории, являются в наиболее существенной части аналитическими и гарантированно приводят к нахождению глобального оптимума. Обсуждаемый метод был предложен В.А.Якубовичем в 1992 г. [36-37]. Его дальнейшее развитие получено в работах А.С.Матвеева и В.А.Якубовича. По этой теме А.С.Матвеев защитил докторскую диссертацию.

Определенный этап развития теории линейно-квадратичной оптимизации отражен в монографии [35].

В конце 70-х годов В.А.Якубовичем был предложен оригинальный "абстрактный" подход к построению теории оптимального управления. Его особенность состоит в разработке общей схемы, позволяющей единообразно и относительно просто получать необходимые условия оптимальности программных управлений (как правило, в виде "принципов максимума", аналогичных принципу максимума Понтрягина) для широкого класса систем, описываемых самыми разными уравнениями (дифференциальными, интегральными, в частных производных, с запаздывающим аргументом и другими) при разных типах ограничений. Развитию упомянутого подхода посвящен обширный цикл работ В.А.Якубовича и его учеников. Определенные итоги этого развития подведены в монографии [38] и учебном пособии [39].

Получил развитие "абстрактный" подход и для линейно-квадратичной задачи оптимального управления [40].

В начале и середине 80-х годов А.Е.Барабановым решена задача синтеза оптимального регулятора при равномерно ограниченных возмущениях. На ее основе построена новая теория L1-оптимального управления. Результаты, полученные А.Е.Барабановым и О.Н.Граничиным по этой тематике [41], впервые были опубликованы в [35]. Более развернутая теория L1-оптимизации приведена в [32]. В конце 80-х годов А.Е. Барабановым исследована проблема синтеза устойчивого регулятора в линейно-квадратичной задаче оптимального управления. Оказалось, что ответом в этой задаче, поставленной для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, служит внутренняя сингулярная функция класса Харди. Этот же результат получен в двойственной задаче сопровождения движущейся цели. В начале 90-х А.Е. Барабановым начато исследование полиномиальных методов синтеза оптимальных систем управления. Им получены разнообразные результаты [42] (критерий управляемости пар полиномиальных матриц, алгебраическая связь решений уравнения Лурье – Риккати общего вида с полиномиальным уравнением Риккати и с уравнением факторизации передаточных функций исходного объекта управления, решение задачи для систем с запаздыванием по управлению и по выходу, полное исследование основного вычислительного алгоритма , основанного на последовательном сокращении матричных полиномиальных множителей).

Нелинейные задачи оптимального управления стохастическими объектами, описываемые уравнениями Ито, изучались Н.Г.Докучаевым. В последние годы его исследования распространены на задачи из классической теории случайных процессов, включая локальные времена и распределения немарковских процессов, а также задачи математической экономики. По результатам этих исследований Н.Г.Докучаевым подготовлена докторская диссертация.


 

 

Адаптивные системы

Синтез оптимального управления обычно требует знания математической модели объекта и входящих в эту модель параметров. На практике часто трудно обеспечить достаточно полное описание объекта управления и точное знание всех необходимых величин; более того, в процессе функционирования характеристики объекта могут изменяться. Теория адаптивных систем направлена на построение управляющей системы, которая должна автоматически отыскивать нужные законы управления посредством анализа поведения объекта при текущем управлении. Естественно, нужный закон управления находится (возможно, приближенно) после некоторого периода "адаптации" или "самообучения". Теория адаптивных систем – бурно развивающееся направление кибернетики; коллектив кафедры принял в этом процеесе активное участие. В частности, в сотрудничестве с другими организациями были проведены пять Ленинградских симпозиумов и одна общесоюзная конференция по адаптивным системам. В них приняли участие многие специалисты из СССР и других стран.

В 70-х годах В.А.Якубович разработал метод рекуррентных целевых неравенств для решения задач адаптивного управления (см. обзорную статью [43] и книгу [7]). Согласно этому методу цель управления преобразовывается в бесконечную систему неравенств относительно неизвестных параметров, они решаются с помощью одного из конечно-сходящихся алгоритмов [43]. Этот метод широко использовался в работах многих ленинградских авторов. В.А.Бондарко получил важный результат по сходимости процесса адаптации без принудительных "остановов" объекта.

В [9] приведены алгоритмы адаптивного управления линейными объектами, в которых обратная связь оптимизирована по отношению к квадратичному критерию качества управления. Алгоритмы адаптации в этом случае основаны на различных методах математической статистики (рекуррентные процедуры метода наименьших квадратов, методы стохастической аппроксимации и т.д.), позволяющие установить состоятельность оценок, получаемых в режиме функционирования объекта управления. Такая возможность обычно реализуется при дополнительных предположениях об априорных свойствах помехи, действующей на объект управления (стационарность помехи, стохастическая независимость возмущающих воздействий и т.п.). Предположение о подобных свойствах помехи можно опустить, если в канале управления использовать специальные тестовые (пробные) сигналы; соответствующий метод описан в [42] и продолжает совершенствоваться. Его использование позволяет решать разнообразные задачи оптимально-адаптивного управления при весьма слабых предположениях о свойствах помехи, аддитивно действующей на объект управления (например, решить минимаксную задачу управления).

Своеобразный подход к теории адаптивного управления (метод скоростного градиента [7]), с помощью которого получен ряд интересных результатов по адаптивной стабилизации [44], был развит А.Л.Фрадковым. В дальнейшем метод скоростного градиента оказался мощным средством решения разнообразных задач управления нелинейными системами. В последние годы с его помощью были решены многие задачи управления нелинейными колебательными, в том числе хаотическими процессами.

Большой цикл работ Б.М.Соколова и В.Н.Фомина посвящен адаптивному управлению технологическим процессом полимеризации в производстве синтетического каучука. Особенность этой задачи состоит в том, что математическая модель процесса нелинейна и вектор состояния наблюдается частично. Адаптивное управление синтезировалось как на основе метода рекуррентных целевых неравенств, так и метода самонастройки [9], [45], использующего построение специальной функции Ляпунова.


 

 

Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация

При синтезе обучаемых и адаптивных систем большое значение имеет форма алгоритмов обучения (адаптации). Требования к памяти вычислительных устройств, с помощью которых обычно реализуются эти алгоритмы, приводит к желательности их представления в рекуррентной форме. С этой точки зрения анализ разнообразных алгоритмов оценивания осуществлен в [46]. Там же дано решение варианта задачи робастного оценивания параметров полезного сигнала и минимаксной фильтрации, а также решен ряд задач адаптивной фильтрации.

В начале 80-х годов сотрудниками кафедры был опубликован цикл работ по сходимости метода наименьших квадратов (МНК). В [46,47] установлена сильная состоятельность оценок, полученных с помощью расширенного МНК в задаче идентификации устойчивого регрессионного уравнения, регрессор которого удовлетворяет некоторому частотному условию. А.Е. Барабановым изучена сильная сходимость и расходимость МНК при зависимых регрессорах, что позволило решить, в частности, задачу идентификации неустойчивого авторегрессионного уравнения [48]. Эти исследования были продолжены В.Н.Фоминым, Н.Б.Шепелявой и Ю.Р.Гель. Была установлена возможность идентификации слабо неустойчивого регрессионного уравнения (при выполнении упомянутого выше частотного условия на регрессор) [49]; путем преобразования регрессионного уравнения к авторегрессионному бесконечного порядка и использования аппроксимаций Паде оказалось возможным решить проблему индентификации устойчивого регрессионного уравнения [50], а затем и регрессионного уравнения общего вида.

В прикладных задачах адаптивной фильтрации, идентификации и адаптивного управления линейными объектами важную роль играет метод стохастической аппроксимации [9], [46], [51], [52]. Т.П.Красулиной изучены условия "односторонней" сходимости рекуррентной процедуры Роббинса – Мон\-ро и Кифера – Вольфовица (когда гарантируется, что "перескок" оценки корня функции регрессии возможен не более, чем конечное число раз на почти каждой реализации процесса оценивания этого корня), а также условия сходимости процедур метода стохастической аппроксимации в случае неединственности корней функции регрессии.


 

 

Робототехника

В 1968 г. В.А.Якубович на основе метода рекуррентных целевых неравенств рассмотрел задачу о самообучении робота-манипулятора [53]. Это была первая статья, опубликованная в Докладах Академии Наук, в которой использовалось слово "робот", употреблявшееся до этого только в научной фантастике. В начале 70-х годов во всем мире возник большой интерес к применению манипуляторов для автоматизации производства. В США начались работы по созданию транспортного робота с элементами искусственного интеллекта. В 1973 г. в лаборатории теоретической кибернетики была организована группа робототехники, которую возглавил А.В.Тимофеев, а затем С.В.Гусев.

Одной из первых задач, оставленных перед группой, была разработка действующей модели транспортного робота, способного автоматически приспосабливаться к неизвестной и изменяющейся обстановке. Первая модель была оснащена сканирующим ультразвуковым дальномером и системой ориентации по световым маякам. Управление роботом осуществлялось от ЭВМ Одра. Программное обеспечение робота было разработано С.В.Гусевым. Робот был способен перемещаться в заданную точку на местности с заранее неизвестными препятствиями. Результаты работы были доложены на международной конференции по искусственному интеллекту, состоявшейся в 1975 г. в Тбилиси. Доклад сопровождался демонстрацией фильма, запечатлевшего функционирование робота. Разработанный в лаборатории робот, наряду с роботом академика Амосова, о котором также было сообщено на конференции в Тбилиси, явился первым в СССР автономным роботом, способным выполнять поставленные задачи без участия человека и адаптироваться к изменяющимся условиям.

В ходе дальнейших исследований был сконструирован робот, имеющий шестиколесное шасси, несущий бортовой манипулятор с пятью степенями свободы, оснащенный системой ультразвуковых датчиков малого радиуса действия, сканирующим дальномером большого радиуса действия и системой кодирования и декодирования информации для связи робота с управляющей ЭВМ по радиоканалу.

В середине 70-х годов большой интерес исследователей во всем мире привлекла задача адаптивного управления манипулятором, т.е. управления при неполной информации о характеристиках самого манипулятора. В 1976 г. одновременно появились работы сотрудников кафедры теоретической кибернетики А.Х.Гелига [54], В.Н.Фомина и Г.А.Аксенова [55], В.А.Якубовича и А.В.Тимофеева [56] с различными решениями этой задачи. Предложенный в последней работе подход, основанный на применении метода рекуррентных целевых неравенств, получил значительное развитие в работах А.В.Тимофеева [57,58] и др. В 1980 г. С.В.Гусевым было показано, что задача управления манипулятором при неполной информации о его динамических характеристиках может быть решена с помощью линейного регулятора с постоянными коэффициентами [59]. Сотрудники кафедры принимали участие в создании системы управления манипулятором для многоразового космического корабля "Буран".

Исследовалась также задача построения программного движения манипулятора, находящегося в среде с препятствиями. (Г.А.Аксенов и В.Н.Фомин [60], В.А.Малышев и А.В.Тимофеев [61]). В [60] дано решение задачи построения программной траектории многозвенного манипулятора по заданному движению точки на его схвате.

С начала восьмидесятых в мире начались интенсивные исследования по созданию шагающих роботов и появились первые экспериментальные образцы таких роботов. Это "поветрие" не обошло и коллектив кафедры. В частности в [62] изучалась проблема поддержания равновесия многоопорного локомоционного аппарата. Появляются первые теоретические исследования по управлению двуногими роботами, которые во время движения находятся в неустойчивом состоянии и поддержание равновесия которых может осуществляться только в динамическом режиме. В.А.Якубовичем была выдвинута идея создания двуногого робота, способного к самообучению ходьбе, подобно обучающемуся ходить ребенку. Алгоритм должен был обеспечивать ходьбу с заданной средней скоростью (после некоторого периода обучения, в течение которого возможны падения робота). Эта задача была решена в [63] путем сведения ее к задаче разрешимости за конечное число шагов некоторой бесконечной системы невыпуклых целевых неравенств, для чего был использован алгоритм, предложенный С.В.Гусевым и С.Л.Шишкиным.

В последние годы в связи с прогрессом автомобилестроения возникла практическая возможность создания массового автоматически управляемого автомобиля. В таких передовых в области автомобилестроения странах, как США, Германия, Франция, Швеция существуют исследовательские программы по созданию автоматического автомобиля. Группа робототехники подключилась к этим исследованиям благодаря сотрудничеству с Королевским технологическим институтом (Стокгольм, Швеция) и INRIA (Франция). В основу практической задачи управления автомобилем положены алгоритмы управления неголомными механическими системами, развитыми С.В.Гусевым и И.И.Макаровым в связи с управлением транспортными роботами, и предложенный В.А.Якубовичем метод построения универсальных регуляторов. Первые теоретические результаты опубликованы в [64]. В 1998 г. предложенный алгоритм управления движением автомобиля по заданной траектории был успешно опробован на экспериментальном электромобиле в INRIA.


 

 

Управление неопределенными системами

В 1997-2001 году продолжались исследования, связанные с задачами управления неопределенными системами. В основном рассматривались неопределенности двух типов. К первому типу относятся неопределенности в коеффициентах и в нелинейностях, которые можно описать системой квадратичных ограничений. Ранее [65] был установлен общий "квадратичный критерий", относящийся к системам, описываемым линейными (дифференциальными, интегральными и др.) уравнениями с интегральными квадратичными ограничениями. Этот критерий преобразует по некоторому правилу квадратичные ограничения в эффективно проверяемое "частотное условие", гарантирующее абсолютную устойчивость расматриваемой системы. В работах [66,67] доказано, что этот критерий во всех рассматриваемых случаях является не только достаточным, но также и необходимым условием абсолютной устойчивости расширенной системы, что придает завершенность этому критерию. Ко второму типу рассматриваемых неопределенностей относятся неопределенности во внешних воздействиях. Например, известно лишь, что внешнее воздействие – гармонический сигнал с известным спектром, но с неизвестными фазами и амплитудами гармоник, либо это – стационарный процесс с неполностью известной спектральной плотностью. Задан функционал, квадратично зависящий от подлежащего определению управляющего воздействия. Требуется найти управление, минимизирующее этот функционал. Ясно, что если отбросить тривиальные случаи, то оптимальное управление зависит от неизвестного внешнего воздействия. Можно получить явную формулу для оптимального управления, выражающую оптимальное управление в фиксированный момент времени через будущие значения внешнего воздействия, которой воспользоваться, естественно, нельзя. К этому же классу задач относятся задачи об инвариантности, когда внешнее воздействие произвольно, а управление должно быть выбрано так, чтобы заданный выход системы не зависел от внешнего воздействия. Последняя задача имеет длинную историю. Перед войной ей была посвящена специальная дискуссия, а после войны – регулярные конференции. Обычный подход к этим задачам основан на ориентации на самый плохой случай, и для этого варианта мы строим наилучшее управление (минимаксный подход, H∞ - оптимизация). Поскольку, однако, реально может осуществиться не самый плохой случай, то такой выбор управления может оказаться далеким от оптимального.

Нас же интересует оптимальное управление. Первое впечатление от этих задач – кажется, что они не имеют решения. Это действительно так для некоторых задач такого рода. Однако, для многих таких задач, притом наиболее практически интересных, ситуация иная. Если искать не оптимальное управление, а оператор, доставляющий реализуемое оптимальное управление по неизвестному внешнему воздействию, то такой оператор, называемый универсальным регулятором, может быть найден. Универсальный регулятор доставляет, таким образом, одновременно решение семейству оптимизационных задач, выдавая оптимальное управление по реализации заранее неизвестной внешней помехи (или другой заранее неизвестной величины). С инженерной точки зрения решение в виде регулятора предпочтительнее "программного" управления, задающего управление как функцию времени. Задачам построения универсальных регуляторов посвящены работы [68-80]. В работах [68, 69, 80] дано решение ряда проблем инвариантности, обсуждавшихся в предвоенной дискуссии, в которой принимали участие многие видные ученые, в том числе Н.Н.Лузин, С.А.Христианович, Б.Н.Петров, Ф.Р.Гантмахер, П.И.Кузнецов и другие.


 

 

Динамика импульсных систем

Широкий класс импульсных систем описывается функционально-дифференциальными уравнениями с разрывными нелинейными операторами. Сюда относятся системы с широтной, частотной, амплитудной и другими видами модуляции. Если нелинейный оператор заменить нелинейной функцией, описывающей статическую характеристику импульсного модулятора, то получится система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую назовем "эквивалентной" системой. Представляет интерес следующая гипотеза: если устойчива эквивалентная непрерывная система, то при достаточно высокой частоте импульсации будет устойчива и импульсная система. Если речь идет об устойчивости в целом, то эта гипотеза оказывается несправедливой. Эквивалентная система может быть устойчивой в целом в то время, как импульсная система имеет периодические решения. Поэтому исследование устойчивости в целом нелинейных импульсных систем является содержательной задачей. Для ее решения в [81] был разработан подход, основанный на синтезе метода усреднения и методов теории абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем. На этом пути в [81-86] на импульсные системы были распространены круговой критерий и критерий В.М. Попова абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем, частотный критерий, учитывающий монотонность нелинейности, а также частотный критерий А.И. Баркина, полученный с помощью функций Ляпунова в виде форм четвертого порядка. Во всех этих случаях получены нижние оценки на частоту импульсации, при выполнении которых из выполнения соответствующего частотного условия абсолютной устойчивости эквивалентной системы вытекает устойчивость в целом состояния равновесия импульсной системы.

В [87] доказано, что упомянутая выше гипотеза справедлива, если речь идет об асимптотической устойчивости (в малом). Именно, получена нижняя оценка на частоту импульсации, при выполнении которой асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной непрерывной нелинейной системы.


 

 

Качественная теория гибридных систем

Начиная с 1997 года в лаборатории и на кафедре теоретической кибернетики проводятся интенсивные исследования, посвященные разработке качественной теории гибридных динамических систем (ГДС). Так называют системы, сочетающие взаимодействующие непрерывную и дискретную динамики. Обычно состояние таких систем описывается переменными, принимающими значения из континуального множества (как правило, это вещественная ось), а также переменными, принимающими значения из дискретного (как правило, конечного) множества. С инженерной точки зрения, гибридная система это сеть, составленная из взаимодействующих цифровых и аналоговых устройств, или цифровое устройство, взаимодействующее с непрерывным процессом. Теория гибридных динамических систем рождается в союзе теории управления и компьютерных наук (computer sciences): теория управления применяется для изучения аналоговых аспектов гибридной системы, в то время как методы компьютерных наук естественны для изучения ее дискретных компонент. Мотивированная и стимулируемая стремительным развитием современных технологий, связанных с применением цифровых устройств в системах управления и обработки информации, теория ГДС является областью, актуальность и важность которой постоянно возрастает.

Наиболее важные примеры ГДС возникают там, где дискретное логическое устройство взаимодействует с непрерывным процессом. Такая ситуация характерна для широкого класса инженерных систем и производственных процессов, рассматриваемых в связи с ассоциированными системами управления и обработки информации. ГДС также возникают в приложениях, где взаимодействие нескольких относительно независимых объектов регулируется по принципу обратной связи в соответствии с определенными протоколами (правилами). Для таких приложений в настоящее время наибольший интерес вызывает задача предотвращения конфликтов между объектами, использующими один и тот же ресурс. Некоторые примеры подобного рода связаны с управлением движением воздушного (водного) транспорта в районе аэропорта (порта), применением автономных транспортных роботов на производстве, предотвращением столкновений подводных аппаратов с другими подводными объектами, разработкой "интеллектуальных" шоссе (автомобиль без водителя). Важный пример ГДС связан с применением управляющих систем, осуществляющих переключение между набором базовых регуляторов по определенному алгоритму. В некоторых случаях подобное переключение позволяет существенно улучшить качество управления по сравнению с любым отдельным используемым регулятором. В других случаях доступен лишь ограниченный набор типовых регуляторов (часто это следствие стандартизации) и задача состоит в том, чтобы использовать этот набор наилучшим образом. Примером подобной ситуации может служить задача оптимального переключения коробки передач или задача оптимального переключения между режимами охлаждения и нагрева в системе регулирования температуры помещения.

В качестве одной из центральных задач, связанных с гибридными системами, отчетливо обозначилась проблема верификации (в частности компьютерной): как выяснить, обладает или нет заданная система определенным свойством. При этом значительная доля интереса фокусируется на динамических свойствах: наличие или отсутствие хаотической динамики, существование периодических траекторий, устойчивость и т.п. Этот интерес неизбежен и естественен. Вместе с тем он подогрет примерами, демонстрирующими, что даже простейшие гибридные системы могут обладать очень сложным динамическим поведением. Сфокусированная указанным образом, обсуждаемая проблема родственна традиционной тематике качественной теории динамических систем.

В лаборатории теоретической кибернетики (в сотрудничестве с Университетом Западной Австралии) был получен целый ряд результатов, заложивших основы качественной теории для достаточно общего класса ГДС. Эти результаты представлены в докладах на международных научных конференциях и опубликованы в ведущих международных журналах [88-103], а также издательством Birkhauser в виде монографии [104] – по-видимому, первой в мире по обсуждаемой тематике.

Был изучен общий класс гибридных динамических систем переключательного типа, то есть систем, для которых "непрерывные" переменные состояния не претерпевают скачков. Получены (необходимые и достаточные) условия сильной детерминированности системы, а также инвариантности заданной области. Выделены (с помощью соответствующего критерия) системы, для которых динамика дискретной части становится периодической начиная с некоторого момента времени. Найдены условия, гарантирующие, что заданная инвариантная область содержит периодическую траекторию, а также получена оценка снизу числа таких траекторий. Вскрыта неожиданная на первый взгляд связь между свойствами детерминизма системы и инвариантности дискретной динамики: для систем рассматриваемого класса детерминизм исключает влияние непрерывного состояния на порядок смены дискретных состояний, допуская влияние лишь на соответствующие моменты времени. В результате метод анализа гибридных динамических систем, основанный на идее алгебраической редукции дискретной части системы к конечному автомату, впервые обоснован для общего класса ГДС.

Выделены ГДС с простой периодической динамикой. Другими словами, установлены условия, гарантирующие, что с одной стороны, динамика дискретной части периодична и с другой стороны, существует конечный (или счетный) набор лежащих в рассматриваемой инвариантной области предельных циклов таких, что любая траектория, лежащая в этой области, либо сама периодична начиная с некоторого момента времени, либо стремится к одному из этих циклов при t→∞.На первый взгляд более естественным было бы считать, что этот набор помимо периодических может содержать и стационарные траектории. Однако для исследуемого класса систем такие траектории отсутствуют. Обсуждаемые условия установлены для двумерных гибридных систем (в этом случае получены необходимые и достаточные условия), а также для систем произвольного порядка с кусочно постоянными производными. Для систем второго типа разработан метод определения числа предельных циклов, а также области притяжения каждого из них. Дееспособность разработанной общей теории продемонстрирована исследованием целого ряда представляющих самостоятельный интерес моделей информационных, компьютерных и т.п. сетей, гибких производственных систем, биотехнологических и др. процессов.


 

 

Аналитический синтез управления нелинейными системами

Для линейных систем с постоянными коэффициентами аналитический синтез как стабилизирующего, так и терминального управления давно известен и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов управления. В случае, когда коэффициенты системы зависят от времени, либо от координат, либо от времени и координат одновременно, аналогичный синтез осуществлен не был и представлялся весьма проблематичным. В работах [105-114] для систем с достаточно гладкими коэффициентами удалось это сделать. Для искомых коэффициентов управления получены линейные алгебраические уравнения. Коэффициенты этих уравнений, естественно, зависят от тех же переменных, что и коэффициенты исходной системы. В основе полученных результатов лежит построение в явном виде преобразования подобия, которое приводит матрицу коэффициентов объекта к форме Фробениуса, а вектор распределения управлений преобразует в постоянный орт. Для построения искомого управления затем используется либо модальный подход, либо второй метод Ляпунова. Описанный аналитический синтез осуществлен для непрерывных и дискретных систем как в случае управления по состоянию системы, так и в случае управления по ее выходу. В последнем случае используется наблюдатель Луинбергера.


 

 

Невыпуклые задачи глобальной оптимизации

Начиная с 1990 года в лаборатории и на кафедре теоретической кибернетики выполнен цикл работ, относящихся к исследованию специального класса невыпуклых задач глобальной оптимизации. Этот класс включает многие задачи, получаемые из линейно-квадратичных задач оптимального управления внесением в их постановку квадратичных ограничений (вообще говоря, невыпуклых).

Задачи глобальной оптимизации традиционно считаются весьма трудными. Интерес к упомянутому классу задач объясняется не только его практической значимостью, но также неожиданно открывшейся возможностью эффективного решения. Последнее во многом связано с успехами классической линейно-квадратичной теории оптимального управления. Эта теория, основы которой были заложены исследованиями Р.Калмана, Н.Н.Красовского и А.М.Летова (а в части, касающейся стохастических объектов, исследованиями А.Н.Колмогорова, М.Г.Крейна, Н.Винера, Р.С.Бьюси), включает разнообразные задачи оптимального управления, сводимые к минимизации выпуклого квадратичного функционала на аффинном пространстве. Значительный вклад в ее развитие внесли Я.К.Виллемс, В.И.Зубов, В.М.Кунцевич, А.Б.Куржанский, Ж.Л.Лионс, А.И.Лурье, В.И.Уткин, Е.Хопф и многие другие ученые. Методически эта область имеет важные связи с комплексным анализом, теорией устойчивости, стабилизации и оптимизации нелинейных динамических систем. В первую очередь это касается неопределенных систем (uncertain systems), т.е. систем, полная информация о которых отсутствует. Начиная с конца 60-х годов поток научных публикаций, относящихся к обсуждаемой области, принял лавинообразный характер; заметный интерес к ней сохранился до настоящего времени. Общеизвестно и практическое значение линейно-квадратичной теории оптимального управления.

Для большинства тех ситуаций, где возникают линейно-квадратичные задачи оптимального управления, значительный интерес представляют и аналогичные задачи с квадратичными ограничениями, вообще говоря, невыпуклыми. Такие ограничения часто дают возможность более точно учитывать возникающие на практике требования и тем самым лучше отражают существо проблемы. Вместе с тем теория соответствующих задач, сравнимая по эффективности предлагаемых ею методов решения с классической линейно-квадратичной теорией, долгое время отсутствовала. Это не случайно, так как внесение в постановку задачи квадратичных ограничений принципиально усложняет ситуацию. Усложнение объясняется, в частности, тем, что в результате возникает, вообще говоря, невыпуклая задача глобальной оптимизации. В общем случае такие задачи, как правило, с трудом поддаются решению. Соответствующим проблемам в последнее время уделяется много внимания. Отметим вместе с тем, что известные методы невыпуклой глобальной оптимизации в основной массе являются численными, часто основаны на эвристических идеях и не всегда сопровождаются гарантией сходимости. Более того, известно, что проблема построения универсального сходящегося метода невыпуклой глобальной оптимизации в определенном смысле неразрешима в принципе.

В [115, 116] было показано, что для некоторых невыпуклых линейно-квадратичных задач оптимального управления с квадратичными ограничениями соответствующие трудности эффективно преодолеваются. Более того, был предложен [115-117] общий метод, позволяющий строить эффективные алгоритмы решения упомянутых задач на базе классической линейно-квадратичной теории оптимального управления. Эти алгоритмы строго математически обоснованы, во многих случаях сводятся к вычислениям по явным формулам и гарантированно приводят к нахождению глобального оптимума. Новые случаи применимости этого метода были найдены в [118-122].

Упомянутый метод, впрочем, применим не только к линейно-квадратичным задачам. В общем случае он сводит решение исходной, вообще говоря, невыпуклой бесконечномерной задачи оптимизации с ограничениями к решению двух вспомогательных задач. Одна из них является задачей конечномерной выпуклой оптимизации и, как правило, сравнительно легко решается методами выпуклого программирования. Поэтому общая дееспособность метода в многом определяется возможностью эффективного решения второй вспомогательной задачи. В общем случае она не содержит невыпуклых ограничений и уже в этом смысле проще исходной. Более того, для многих линейно-квадратичных задач оптимального управления с квадратичными ограничениями она представляет собой задачу, хорошо изученную в классической линейно-квадратичной теории оптимального управления, и допускает эффективное решение. Этим и объясняется особая привлекательность обсуждаемого метода в указанной области.

Общим критериям применимости метода и его приложениям посвящены исследования [115-128]. За цикл работ по абстрактной теории оптимального управления в 1997 году В.А.Якубовичу и А.С.Матвееву была присуждена премия Санкт-Петербургского Университета.

В 2000 году опубликована книга "Control Theory. Twenty -Five Seminal Papers (1932-1981)", в которой представлены 25 статей, оказавших по мнению специальной международной комиссии наибольшее влияние на развитие теории управления в 20-м столетии. В ней имеется одна из статей В.А. Якубовича.


 

 

Оптимальная фильтрация случайных процессов и полей

В монографии В.Н.Фомина (Профессор В.Н.Фомин безвременно ушел из жизни 23 февраля 2000 г.) [129] изложены основные понятия теории оптимального оценивания случайных полей и разработаны методы синтеза оптимальных фильтров при обработке пакета случайных плоских волн на фоне распределенных шумов. Задачи оценивания и обнаружения полезных сигналов в наблюдаемых электромагнитных и акустических полях имеют важные приложения в теории радарных и коротковолновых средств связи, в подводной акустике, радиоастрономии, сейсмологии, геофизике и в системах телевизионного слежения.

В [129] подробно описаны прикладные задачи, связанные с моделированием электромагнитного поля в выделенных областях пространства и свойствами резонаторов и волноводов.

Основным объектом изучения является обобщенное случайное поле с заданным множеством особенностей в пространстве. Определяются понятия линейного фильтра в классе обобщенных полей, а также основных свойств таких фильтров: физическая реализуемость, устойчивость, глубина прогноза и пр.

К наиболее важным в прикладных задачах относится класс авторегрессионных случайных полей, а также модели авторегрессии - скользящего среднего (ARMA модели). При переходе от одномерных случайных процессов к многомерным случайным полям многие постановки задач оценивания обобщаются непосредственно, но в других возникают принципиально новые проблемы. Центральное понятие неупреждаемости оценок и обновляющего процесса в одномерном случае опирается на полную упорядоченность вещественной прямой и на возможность разделение "прошлого" и "будущего". При переходе к многомерным полям упорядоченность теряется, и даже такие базовые вопросы, как задача Коши для авторегрессионного уравнения, требуют введения новых предствлений о начальных данных.

В [129, глава 1] для устойчивого ARMA-процесса на дискретной решетке сформулирована задача Коши. Определено множество начальных данных по отношению к положительному конусу в Rn и заданной границе формирования поля. Явно написана формула для решения уравнения через начальные данные и обновляющий процесс.

С отсутствием естественной упорядоченности на многомерной решетке связана и другая, наиболее важная в приложениях проблема обработки сигналов. Известные спектральные методы решения линейно-квадратичных задач оценивания и управления опираются на факторизацию спектральной плотности наблюдаемого процесса. Для стационарных случайных процессов во времени такая факторизация всегда осуществима, и получающееся решение известно как фильтр Винера-Колмогорова. Для случайных полей легко доказывается, что в даже в простейших примерах рациональной факторизации не существует и, следовательно, основной метод расчета оптимальных оценок неприменим.

В [129, глава 4] разобраны некоторые приемы построения оптимальных оценок случайных полей. Сформулированы достаточные условия существования обычной рациональной факторизации, которые выполнены для подклассов авторегрессионных уравнений. Соответственно, для них вычислены параметры оптимальных фильтров и полностью описана процедура сепарации, составляющая вторую часть стандартного алгоритма спектрального решения линейно-квадратичной задачи. В более общей ситуации, когда конус "предыдущих" значений является полупространством, доказано утверждение о существовании спектральной факторизации, которая рассчитывается методом кебстров.

Особое внимание было уделено процессу моделирования и распознавания совокупности плоских волн на фоне однородных шумов, что характерно для акустических и коротковолновых антенн. В [129, глава 3] построены пространственно-временные модели сигналов на сенсорной решетке антенны. Распознаваемый сигнал является суммой плоских волн, каждая из которых задается случайным процессом. Шум измерения моделируется равномерно распределенными источниками. Статистическим методом разделения гипотез решается задача оптимального обнаружения сигнала. Метод максимума правдоподобия сводится в этом случае к максимизации отношения сигнал/шум и далее к максимизации отношения двух квадратичных форм.

Более сложной задачей является нахождение угла прихода плоских волн в принятом пакете и на фоне случайных шумов измерения. Подробно воспроизводится метод подпространств, описана удобная на практике графическая реализация алгоритма в терминах логарифмических амплитудных характеристик.

Другая важная задача обработки сигнала в антенне связана с подвижными носителями антенной решетки, а также с изменяющимися условиями приема сигнала. В этой ситуации параметры фильтров необходимо корректировать в соответствии со спектральными свойствами принимаемых сигналов. Разработаны алгоритмы адаптивной фильтрации сигнала при неизвестных спектральных плотностях возмущений, процедура настройки параметров осуществляется при помощи алгоритмов стохастической аппроксимации.

Аналогичные задачи адаптивной фильтрации анализируются в монографии [130]. Использование формирующего фильтра для помех и сигналов в теории Калмана-Бьюси стало серьезным ограничением для ряда приложений, в которых этот фильтр неизвестен. Однако для конкретной помехо- сигнальной обстановки часто можно предполагать, что фильтр известен с точностью до некоторого конечного набора параметров, которые следует подобрать по заданной реализации зашумленного сигнала. Таким образом, возникает задача построения фильтра с оптимальной структурой, в котором неизвестные параметры модели заменены их оценками, формируемыми с помощью той или иной неупреждающей процедуры по заданной реализации зашумленного сигнала. Если удается так организовать процесс оценивания неизвестных параметров, что оценки являются сильно состоятельными (сходятся к оцениваемому параметру с вероятностью, равной единице), то с течением времени фильтр с подстраиваемыми (настраиваемыми) параметрами становится не отличимым от оптимального фильтра. Такой фильтр как бы ``подстраивается'' к конкретной помехо-сигнальной обстановке, поэтому его называют {\it адаптивным\/} фильтром. Теория адаптивной фильтрации получила широкое распространение ввиду важности адаптивных фильтров во многих приложениях. Параметры полезного сигнала и (или) помехи могут медленно изменяться во времени, и классические методы фильтрации, основанные на предположении неизменности параметров модели помехо-сигнальной обстановки, в этих случаях могут оказаться неприемлемыми.

В [130, глава 6] адаптивный фильтр синтезируется как фильтр с настраиваемыми параметрами. Структура этого фильтра выбирается оптимальной по минимуму дисперсии ошибки, а настройка параметров осуществляется при помощи стохастических алгоритмов идентификации, разобранных в [130]. Общие методы синтеза оптимальных фильтров для случайных процессов изложены в [131].

Глава 5 монографии [130] содержит новые результаты о свойствах метода наименьших квадратов (МНК) при идентификации бесконечномерного авторегрессионного уравнения. Хорошо известно, что МНК является сильно состоятельным для линейных авторегрессионных уравнений с конечным числом слагаемых, т.е. оценки сходятся к вектору истинных параметров с вероятностью 1 и в среднеквадратичном.

Прикладная значимость бесконечномерной авторегрессии определяется общностью этого уравнения, которое описывает любые стационарные процессы без особенностей на границе устойчивости. Конечномерные модели авторегрессии этим свойством не обладают и, более того, класс процессов, которые ими описываются, не замкнут относительно сложения. Класс конечномерных ARMA моделей замкнут относительно линейных операций и является обобщением авторегрессии, но его параметры не могут быть определены линейно-квадратичным методом, что снижает практическую ценность.

С другой стороны, известный статистический критерий Акаике рекомендует выбирать количество настраиваемых параметров в стохастической системе пропорционально логарифму от количества измерений. В случае бесконечномерной авторегрессии с нулевыми начальными данными в каждый момент времени количество настраиваемых параметров по МНК совпадает с количеством измерений. Обычно такой объем неизвестных не удается настроить с требуемой точностью, и тем более, не обеспечить сходимость ошибок оценивания к нулю. И действительно, доказано, что стандартный МНК не дает состоятельных оценок. В работе [130] В.Н.Фоминым предложен новый способ выбора начальных ковариаций, которые экспоненциально растут и обеспечивают логарифмическую зависимость интенсивности настройки параметров от количества измерений. Доказано, что регуляризованный таким способом МНК дает состоятельные оценки без какого-либо изменения основной рекурсии.


 

 

Синтез Η∞ -оптимальных регуляторов и фильтров

При построении моделей многих динамических систем в механике, навигации, акустике и других областях применения теории временных рядов первым приближением часто выбирается линейное дифференциальное или разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Замкнутая система, состоящая из реального объекта и системы управления или оценивания, имеет входом только временной ряд, описывающий шумы и возмущения, не учтенные в модели. Выходом замкнутой системы является отклонение реального движения от расчетного, и это отклонение требуется минимизировать.

Динамический блок при нулевых начальных данных порождает отображение множества входных функций в множество выходных функций. Если входные возмущения и выходные отклонения измерять в норме пространств L2, а блок стационарный, линейный и устойчивый, то норма порождаемого отображения совпадает с нормой передаточной функции в пространстве Харди (H∞). Задачу синтеза регулятора или фильтра с целью минимизации этой нормы принято называть H∞-оптимизацией.

Теория H∞-оптимального управления и оценивания, которая началась, по-видимому, с работ Г. Зеймса и М. Сафонова (использовавшего результаты Д.З. Арова и М.Г. Крейна), бурно развивалась в последние 15 лет. Можно отметить спектральную теорию, изложенную в монографии Б.~Френсиса и давшую первые решения простейших задач H∞-оптимального управления, метод пространства состояний или метод двух уравнений Риккати, изложенный в статье К. Гловера и Дж. Дойла, полиномиальный подход Х. Квакернаака и многие другие работы, доложенные на специальных секциях крупнейших международных конференций по теории управления.

Явные решения и численные алгоритмы были получены в основном для систем с матричными рациональными передаточными функциями. Это связано, в частности, с большой популярностью метода уравнений Лурье - Риккати. Для систем с запаздыванием вектор состояний становится бесконечномерным, а уравнение Лурье - Риккати из матричного преобразуется в операторное. Решение последнего уравнения представляет значительную вычислительную трудность. Лишь в последние годы в работах Г. Мейнсмы и ряда других авторов появляются алгоритмы расчета регуляторов и фильтров в простейших системах с запаздыванием.

В конце 90-х годов был разработан новый метод синтеза H∞-оптимальных регуляторов, основанный на решении одного линейного функционального уравнения и названный также φ-подходом [132-134]. Он позволяет непосредственно вычислять параметры оптимальных и субоптимальных регуляторов без обращения к многочисленным вспомогательным процедурам параметризации, матричным уравнениям и другим преобразованиям. Метод был распространен на непрерывные системы с запаздыванием по возмущению [134, 135]. Далее была доказана теорема двойственности задач H∞-оптимального управления и фильтрации для систем в терминах вход-выход [136]. По этой двойственности задачи оптимальной интерполяции в непрерывном времени сводятся к соответствующим задачам управления, которые решаются методом линейного функционального уравнения.

Сформулирован численный алгоритм расчета параметров H∞-оптимального фильтра для систем со скалярными входом и выходом. В [136, 137] приведены решения в двух частных случаях: для объектов первого и второго порядков. Объект второго порядка может моделировать волновое возмущение, а его интерполяция может быть применена в задачах подавления возмущений на радарном изображении морской поверхности.


 

 

Распознавание звуковых сигналов и синтез вокодеров

Обработка звуковых сигналов входит во многие аудиосистемы, является неотъемлемой частью студий звукозаписи и существенно используется в мобильных телефонах. Достаточно сказать, что международный стандарт кодирования речевого сигнала GSM вошел в название фирм- производителей и эксплуатационщиков оборудования, математические алгоритмы работы которого удовлетворяют этому стандарту. Программа, кодирующая и декодирующая речевой сигнал при передаче по телефонному каналу или по радио, называется вокодером.

Группа сотрудников лаборатории теоретической кибернетики разработала новый вокодер половинной скорости (5.6 кбит/с). В отличие от стандарта GSM, работающего в 2 раза медленнее, это полный спектральный вокодер, соединяющий в себе эффективный метод коэффициентов линейного предсказания и новую спектральную параметризацию речевого сигнала.

Важнейшие параметры звукового сигнала, влияющие на восприятие ухом, описывают не столько амплитудные изменения давления воздуха, сколько форму его спектра. Это частота основного тона и спектральная оболочка, совпадающая с модулем преобразования Фурье. Фазовая составляющая спектра практически не влияет на разборчивость речи. Основная трудность в оценивании спектральных параметров состоит в противоречии между требованиями точности спектра для оценок стационарного сигнала и минимизации запаздывания в определении нестационарности.

Звуковой сигнал, записанный с частотой 8 кГц, как в телефоне, или 44.1 кГц, как на музыкальном диске, представляется отсчетами достаточно гладкой функции, которая локально близка к периодической. В настоящее время не существует полной модели речевого или музыкального сигналов, которая включала бы числовую оценку ее погрешности, соответствующую человеческому восприятию. Однако, ряд важных параметров удается оценить весьма точно методами теории фильтрации временных рядов. Особенностью разработанного вокодера является оригинальный метод одновременного вычисления частоты основного тона и фаз всех кратных гармоник. Работа в области моделирования музыкальных сигналов, расчет эха в крупных залах и компенсация эха в салоне автомобиля остаются важными направлениями текущих исследований.


 

 

Радарное сопровождение кораблей на рабочем месте штурмана

В соответствии с правилами Международной организации мореплавания каждое судно должно быть оснащено системой ARPA, которая по радарным наблюдениям формирует точные данные о положении, скорости и курсе всех судов, расположенных в круге заданного радиуса. Одна из таких систем была создана на базе разработанной ранее теории фильтрации и адаптивного разделения гипотез.

Движение одного судна в море достаточно точно описывается линейной функцией, так как капитан старается минимизировать количество поворотов для экономии топлива. Небольшие возмущения, а также нестационарный снос морским течением можно описать случайным процессом с небольшой дисперсией. Получающаяся линейная система наблюдения характеризуется значительными ошибками в единичных измерениях и достаточно гладкими истинными траекториями. Для нахождения требуемых параметров движения применяется адаптивный фильтр Калмана-Бьюси. Адаптация необходима при определении и отработке моментов разладок, когда судно действительно маневрирует.

Важной составляющей системы ARPA является первичная обработка радарного сигнала. Этот сигнал имеет причудливую форму, в которой лишь высокочастотная составляющая несет информацию об обнаруженном объекте на морской поверхности, а низкочастотная составляющая значительна по амплитуде и убывает по заранее не известному закону. При помощи разнообразных адаптивных настроек удается восстановить и компенсировать низкочастотную составляющую, а также выделить пятна на дискретной решетке наблюдений, в которых могут находиться цели. Количество получающихся при этом ложных отметок от волн весьма велико. Вторичная обработка сигнала, выкладывающая гладкий маршрут из отметок в каждом кадре, отсекает практически все ложные отметки.

В целом, реализация системы основана на многократно применяемых методах адаптивной фильтрации Калмана-Бьюси, на формировании системы гипотез на разных уровнях с последующим выбором оптимальной из них, и на статистических методах робастного оценивания первых двух моментов случайного процесса.


 

 

Литература

1. Я к у б о в и ч В.А., С т а р ж и н с к и й В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972. 720 с. (Английский вариант: Yakubovich, V. A., and V. M. Starzinskii. Linear Differential Equations with Periodic Coefficients. Vol. 1, 2. Jerusalem/London: John Wiley \& Sons. 1975.)

2. K r e i n M.G., J a k u b o v i c h V.A. Four Papers on Ordinary Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. Vol. 120. Ser. 2. 1983. 168 p.

3. Я к у б о в и ч В.А., С т а р ж и н с к и й В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 320 с.

4. Ф о м и н В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1972. 240 с.

5. F o m i n V.N. Optimal Filtering. Vol. II: Spatio-Temporal Fields. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers. 1999. 376 p.

6. Я к у б о в и ч В.А. Некоторые общие принципы построения обучаемых опознающих систем // Вычислительная техника и вопросы программирования. Вып. 4. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та. 1965. С.3-72.

7. Ф о м и н В.Н., Ф р а д к о в А.Л., Я к у б о в и ч В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

8. К о з и н е ц Б.Н., Л а н ц м а н Р.М., Я к у б о в и ч В.А. Криминалистическая экспертиза близких почерков при помощи ЭВМ // ДАН СССР, 1966. Том 167, N 8. C. 1008-1011.

9. Ф о м и н В.Н. Математическая теория обучаемых опознающих систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 236 с.

10. Т и м о ф е е в А.В. Адаптивная система логического вывода и оптимальные опознающие графы // Вопросы кибернетики: Адаптация в системах со сложной организацией. М.: Научный совет по комплексн. проблеме "Кибернетика" АН СССР. 1977. С. 33-35.

11. Г р а н о в с к а я Р.М. Восприятие и модели памяти. Л.:Наука, 1974, стр. 361.

12. Г р а н о в с к а я Р.М., Б е р е з н а я И.Я., Г р и г о р ь е в а А.Н. Восприятие и признаки формы. M.: Наука, 1981, 205 с.

13. Г р а н о в с к а я Р.М., Б е р е з н а я И.Я. Запоминание и узнавание фигур. Л.: ЛГУ, 1974, стр. 151.

14. Х а р и ч е в В.В., Ш м и д т А.А., Я к у б о в и ч В.А. Об одной новой задаче распознавания образов // Автоматика и телемеханика, 1973. N 1. C. 109-122.

15. Я к у б о в и ч В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР, 1962. Том 143, N 6. С. 1304-1307.

16. Я к у б о в и ч В.А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журн., 1973. Т. 14. N 2. С. 384-420.

17. Г е л и г А.Х., Л е о н о в Г.А., Я к у б о в и ч В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

18. Б а р а б а н о в А.Е., Г е л и г А.Х., Л е о н о в Г.А., Л и х т а р н и к о в А.Л., М а т в е е в А.С., С м и р н о в а В.Б., Ф р а д к о в А.Л. Частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана) в теории управления //Автоматика и телемеханика, 1996. N10. С. 3-40.

19. Г е л и г А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.:ЛГУ, 1982, 190 с.

20. Г е л и г А.Х., Ч у р и л о в А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: СПбГУ, 1993, 265 с.

21. G e l i g A.Kh., C h u r i l o v A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston/Basel/Berlin: Birkhauser. 1998. 362 p.

22. Л е о н о в Г.А., Б у р к и н И.М., Ш е п е л я в ы й А.И. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: СПбГУ, 1992. 1ч. - стр.368, 2ч.- 164.

23. L e o n o v G.A., B u r k i n I.M., S h e p e l j a v y i A.I. Frequency Methods in Oscillations Theory. Dortrecht: Kluwer. 1996, p. 416.

24. L e o n o v G.A., P o n o m a r e n k o D.V., S m i r n o v a V.B. Frequency-Domain Methods for Nonlinear Analysis. Theory and Applications. World Scientific, Singapure, 1996, p. 498.

25. L e o n o v G.A., R e i t m a n n V., S m i r n o v a V.B. Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems. Leipzig-Stuttgart: Teubner. 1992? p. 242.

26. L e o n o v G.A., R e i t m a n n V. Attraktoreingrezung fur nichtlineare Systeme. Leipzig: Teubner. 1987, p. 197.

27. L e o n o v G.A. Lyapunov Exponents and Problem of Linearisations. From Stability to Chaos. St.Petersburg, St.Petersburg University Press. 1997,p.83/

28. F r a d k o v A.L., P o g r o m s k y A.Yu. Introduction to Control of Oscillation and Chaos. World Scientific, Singapure, 1998, p. 391.

29. П е т р о в О.А., Ф о м и н В.Н., Линейная фильтрация случайных процессов. Учебное пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1996. 148 с.

30. Ф о м и н В.Н. Операторные методы теории линейной фильтрации случайных процессов. С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского гос. университета. 1996. 308 с.

31. F o m i n V.N. Optimal Filtering. Vol. I: Filtering of Stochastic Processes. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers. 1998. 376 pp.

32. Б а р а б а н о в А.Е. Синтез оптимальных регуляторов. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1996. 224 с.

33. А н д р е е в В.А., Ш е п е л я в ы й А.И. Синтез оптимальных управлений для дискретных систем в задаче минимизации квадратичного функционала // Elektronische Informftionverarbeitung und Kybernetik, 1972, 8. N 8/9. Pp. 549-567.

34. А н д р е е в В.А., Ш е п е л я в ы й А.И. Синтез оптимальных управлений для амплитудно-импульсных систем в задаче минимизации среднего значения функционала квадратичного типа // Сиб. мат. журн., 1973, Том 14, N 2, С. 250-276.

35. Ф о м и н В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 336 с. (Английский вариант: Discrete Linear Control Systems. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers. 1991. 310 pp.)

36. Я к у б о в и ч В.А. Об одном методе решения специальных задач глобальной оптимизации // Вестник С.-Петерб. ун-та, Сер. 1, вып. 2 (N 8), 1992. С. 58-68.

37. Y a k u b o v i c h V.A. Nonconvex optimization problem // Systems and Control Leters, 1992. Vol. 19. P. 13-22.

38. М а т в е е в А.С., Я к у б о в и ч В.А. Абстрактная теория оптимального управления. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1994, стр. 361.

39. М а т в е е в А.С. Теоретическая кибернетика. Методические указания. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1994, стр. 80.

40. C h e r e m e n s k y A., F o m i n V. Operator Approach to Linear Control Systems. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers. 1996. 419 pp.

41. Б а р а б а н о в А.Е., Г р а н и ч и н О.Н. Оптимальное управление линейным объектом с ограниченной помехой // Автоматика и телемеханика. 1984. N 5. С.39-46

42. B a r a b a n o v A.E. Canonical matrix factorization and polinomial Riccati equations// Europen Journal of Control. N 3. 1997. Pp. 47-67.

43. Я к у б о в и ч В.А. Метод рекуррентных целевых неравенств в теории адаптивных систем // Вопросы кибернетики. Адаптивные системы // Изд-во научного совета по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР. М., 1976.

С. 32-64.

44. Д е р е в и ц к и й Д.П., Ф р а д к о в А.Л. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления. М.: Наука. 1981.

45. С о к о л о в Б.М., Ф о м и н В.Н. Адаптивная стабилизация объектов специального класса при ограниченном управлении // Вестник С.-Петерб. ун-та, Сер. 1, вып. 1 (N 1), 1999.

46. Ф о м и н В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Изд-во "Наука". 1984. 288 с.

47. А г а ф о н о в С.А., Б а р а б а н о в А.Е., Ф о м и н В.Н. Адаптивная фильтрация случайных процессов. / В кн. "Вопросы кибернетики. Актуальные задачи адаптивного управления". М.: Научный совет по кибернетике АН СССР, 1982. С. 4-31.

48. Б а р а б а н о в А.Е. О сильной сходимости метода наименьших квадратов // Автоматика и телемеханика. N10. 1983. С. 119-126.

49. Ф о м и н В.Н., Ш е п е л я в а я Н.Б. Расширенный метод наименьших квадратов в задаче идентификации слабо неустойчивого динамического объекта. Л., 1988. Деп. в ВИНИТИ 13.10.88, N 7385-В88. 19 с.

50. Г е л ь Ю.P., Ф о м и н В.Н. Идентификация линейной модели стационарного процесса по его реализации // Вестник С.-Петербургского ун-та, Сер. 1, вып. 2, (N8), 1998. С. 24-31.

51. А г а ф о н о в С.А., К р а с у л и н а Т.П., Ф о м и н В.Н. Метод стохастической аппроксимации в задаче идентификации линейного динамического объекта // Вестн. Ленингр. ун-та, Сер. 1, вып. 1 (N1), 1981. С. 5-9.

52. К р а с у л и н а Т.П. О применении алгоритмов стохастической аппроксимации к задачам автоматического управления // Автоматика и телемеханика. N5. 1969. С. 104-107.

53. Я к у б о в и ч В.А. К теории адаптивных систем // Дан СССР. 1968. Том. 182, N 3, С.518-522.

54. Г е л и г А.Х. Адаптивная система управления роботом "глаз-рука" // Вопросы кибернетики: Адаптивные системы. М.: Научный совет по комплексн. проблеме "Кибернетика" АН СССР. 1976. С. 162-163.

55. А к с е н о в Г.С., Ф о м и н В.Н. К задаче об адаптивном управлении манипулятором // Вопросы кибернетики: Адаптивные системы. М.: Научный совет по комплексн. проблеме "Кибернетика" АН СССР. 1976. С. 164-167.

56. Т и м о ф е е в А.В., Я к у б о в и ч В.А. Адаптивное управление программным движением робота-манипулятора // Вопросы кибернетики: Адаптивные системы. М.: Научный совет по комплексн. проблеме "Кибернетика" АН СССР. 1976. С. 170-173.

57. Т и м о ф е е в А.В. Построение адаптивных систем управления программным движением. М.: Энергия. 1980. 107 с.

58. Т и м о ф е е в А.В. Адаптивные робототехнические комплексы. Л.: Машиностроение. 1988. 332 с.

59. G u s e v S.V. Linear stabilization of nonlinear systems program motion // Systems and Control Letters, 1980, N 11. Pp. 41-47.

60. А к с е н о в Г.С., В о р о н е ц к а я Д.К., Ф о м и н В.Н. Построение программных траекторий сложных манипуляционных систем // В кн,: Робототехника. Л.: Изд-во ЛПИ. 1979. С.41-47.

61. М а л ы ш е в В.А., Т и м о ф е е в А.В. Алгоритмы построения программных движений манипуляторов при наличии конструктивных ограничений и препятствий // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978.\ Т 6. С. 64-72.

62. Т е р т ы ч н ы й В.Ю., Ф о м и н В.Н. Равновесие локомоционного аппарата в процессе передвижения // В кн. "Колебания и устойчивость механических систем": Межвуз. сб./Под ред. Н.Н.Поляхова. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. (Прикладная механика; Вып. 5). С. 106-113.

63. G u s e v S.V., S h i s h k i n S.L., Y a k u b o v i c h V.A. Biped walk self-learning algorithms // Proc. of the International Conference "Artifical Intellegence-Industrial Applications". Lenindrad, 1990. Pp. 320-321.

64. G u s e v S.V., M a k a r o v I.A., P a r o m t c h i k I.E., Y a k u b o v i c h V.A., and L a u g i e r C. Adaptive motion control of nonholonomic vehicle // Proc. of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1998. Leuven, Belgium, p. 3285-3290.

65. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. // Автоматика и телемеханика, 1967, Т.~23, N~6, С.~5-30.

66. Якубович В.А. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости. // Докл. РАН, 1998, Т.~361, N~5, С.~608-611.

67. Yakubovich V.A. Necessity in quadratic criterion for absolute stability. // Int. J. of Robust and Nonlinear Control, 2000, V.~10, P.~889-907.

68. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания. // Докл. РАН, 1995, Т.~343, N~2, С.~172-175.

69. Yakubovich V.A. Universal Regulators in Linear-Quadratic Optimization Problem. // Trends in Control: Еuropean Perspective. Alberto Isidori (Ed.) 1995, P.~53-67.

70 Якубович В.А. Универсальный регулятор для оптимального гашения вынужденных колебаний в линейных системах с запаздыванием. // Докл. РАН, 1996, Т.~346, N~3, С.~319-323.

71. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в линейно-квадратичной задаче оптимального отслеживания. // Докл. РАН, 1996, Т.~348, N~3, С.~313-317.

72. Yakubovich V.A. Optimal Damping of Forced Stochastic Oscillations in Linear Systems in the Case of Unknown Spectral Density of External Disturbances. // Proceedings of 35th IEEE Conference on Decision and Control, Kobe, Japan, Dec.11-13, 1996.

73. Якубович В.А., Ширяев А.С. Оптимальное отслеживание гармонических сигналов в линейных системах при наличии помех в измерениях. // Докл. РАН, 1997, Т.~353, N~1.

74. Якубович В.А., Линдквист А. Универсальные регуляторы для оптимального гашения вынужденных колебаний в линейных дискретных системах. // Докл. РАН, 1997, Т.~352, N~3, С.~314 -317.

75. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в стохастических задачах оптимального управления линейными стационарными объектами. // Автоматика и телемеханика, 1997, N~6, С.~170-182.

76. Yakubovich V.A., Lindquist A. Optimal Damping of Forced Oscillations in Discrete-Time Systems. // IEEE Transactions on Automatic Control, June 1997, V. 42, N 6, P.186- 802.

77. Yakubovich V.A., Asama H., Paromtchik I.E. Towards a Universal Controller for Robust Path. Following. // 4th International Symposium on Advanced Vechicle Control, 1998 (AVEC'98), P. 13, Nagoya, Japan.

78. Якубович В.А., Линдквист А. Универсальные регуляторы для оптимального отслеживания сигналов в линейных дискретных системах. // Докл. РАН, 1998, Т.~361, N~2, С.~177- 180.

79. Yakubovich V.A., Lindquist А. Universal Regulators for Optimal Tracking in Discrete-Time Systems Affected by Harmonic Disturbances. // IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, AC-44, N~9, P.~1688-1704.

80. Якубович В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия. // Докл. РАН, 2001, Т.~380, N~1.

81. Gelig A. Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Birkh\"{a}user, Boston-Basel-Berlin, 1998, 362~p.

82. Гелиг А.Х., Михеева Н.Н., Кузнецов Н.В. Устойчивость импульсных систем управления. // Труды 6-го Санкт-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем, 1999, Т.~2, С.~50-54.

83. Гелиг А.Х. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальных уравнений в простейшем критическом случае. // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления", 2000, N~1.

84. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Динамика систем с импульсной модуляцией. // Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, 2001, С.~314-341.

85. Гелиг А.Х. Устойчивость одного класса нелинейных функционально-интегральных уравнений. // Вестник СПбУ, Сер.~1, 2001, Вып.~4, С.~3-10.

86. Gelig A.Kh., Kuznetsov N.V. On the stability of nonlinear systems with the monotonic differentiable nonlinear characteristic. // Preprints of 5th IFAC Symposium "Nonlinear Control Systems" (S.-Petersburg, 4-6 July, 2001), V.~4, P.~1317-1320.

87. Гелиг А.Х. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. // Автоматика и телемеханика, 2002 .

88. A.S.Matveev and A.V. Savkin. Reduction and decomposition of differential automata: Theory and applications. // In Hybrid Systems: Computation and Control, ed. Henzinger, T.A. and Sastry, S., Lecture Notes in Computer Science, Springer, 1998, P. 319-333.

89. A.S.Matveev and A.V. Savkin. Qualitative analysis of a class of hybrid dynamical systems. // Proc. of IMACS Multiconference on Computational Engineering in Systems Applications, V.~1, P. 673-678, Nabeul-Hammamet, Tunisia, April 1998.

90. A.V.Savkin and A.S.Matveev. Linear cyclic differential automata: a simple class of hybrid dynamical systems. // Automatica, accepted.

91. A.S.Matveev and A.V.Savkin. Towards a qualitative theory of differential automata. Part 2: An analog of the Poincare-Bendixon theorem. // Proc. 37th IEEE Conference on Decision and Control, Tampa, Florida, USA, 1998.

92. A.V.Savkin and A.S.Matveev. Cyclic linear differential automata: A simple class of hybrid dynamical systems. //Proc. 37th IEEE Conference on Decision and Control, Tampa, Florida, USA, 1998.

93. A.V.Savkin and A.S.Matveev. Qualitative analysis of differential automata: existence and stability of limit cycles. // 1999 Information, Decision and Control, Adelaide, Australia, P.~265- 270, February 1999.

94. A.S.Matveev and A.V. Savkin. Existence and Stability of Limit Cycles in Hybrid Dynamical Systems with Constant Derivatives. Part 1. General Theory. // Proc. of 38th CDC, Phoenix, Arizona, 1999.

95. A.S.Matveev and A.V. Savkin. Existence and Stability of Limit Cycles in Hybrid Dynamical Systems with Constant Derivatives. Part 2. Applications. // Proc. of 38th CDC, Phoenix, Arizona, 1999.

96. A.V. Savkin and A.S.Matveev. Globally Periodic Behavior of Switched Flow Networks with a Cyclic Switching Policy. // Proc. of 38th CDC, Phoenix, Arizona, 1999.

97. A.Savkin and A.S.Matveev. Globally periodic behavior of switched flow networks with a cyclic switching policy. // Systems and Control Lett., special issue {\it Hybrid Control Systems}, 1999, V.~38, N~3, P.~151-155.

98. A.V.Savkin and A.S.Matveev. Existence and stability of periodic trajectories in switched server systems. // XIV Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control, Beijing, China, July 1999.

99. A.Savkin and A.S.Matveev. Existence and stability of periodic trajectories in switched server systems. // Automatica, 2000, V.~36, P.~775-779.

100. A.Savkin and A.S.Matveev. Cyclic linear differential automata: a simple class of hybrid dynamical systems. // Automatica, 2000, V.~36, P.~727-734.

101. A.S.Matveev and A.V.Savkin. Existence and stability of limit cycles in switched single server flow networks modelled as hybrid dynamical systems. // In Hybrid Systems: Computation and Control - III. Lecture Notes in Computer Science, V.~1790, Springer-Verlag, London, 2000.

102. A.S.Matveev and A.V.Savkin. Limit cycles in a switched single server flow network. // The Third Asian Control Conference, Shanghai, China, July 2000.

103. A.S.Matveev and A.V.Savkin. Stable globally periodic behavior of a simple switched flow network. // The Third Asian Control Conference, Shanghai, China, July 2000. \bibitem{41} A.S. Matveev and A.V. Savkin.

104. Qualitative Theory of Hybrid Dynamical Systems, Birkh\"{a}user, Boston, 2000.

105. Зубер И.Е. Стабилизация линейных нестационарных систем на основе преобразования подобия. // Кибернетика и системный анализ, 1997, N~5, С.~32-39.

106. Zuber I.E. Stabilization of nonlinear systems by similarity transformation. // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 1998, V.~11, N~4, P.~519-526.

107. Зубер И.Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия. // Вестник СПбУ, сер.~1, 2001, вып.~2 (8), С.~8-13.

108. Зубер И.Е. Спектральная стабилизация динамических систем. // Вестник СПбУ, сер.~1, 2001, вып.~1, С.~15-20.

109. Зубер И.Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для наблюдаемых систем. // Автоматика и телемеханика, 1998, N~3, С.~20-28.

110. Зубер И.Е. Стабилизация дискретных нелинейных систем на основе специального преобразования подобия. // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления", 1998, N~4.

111. Зубер И.Е. Канонические преобразования и стабилизация нелинейных дискретных систем. // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления", 2001, N~1.

112. Zuber I.E. Synthesis of dynamical system by similarity transformation. // Control Application of Optimization, II-IFAC International workshop, S.-Petersburg, Russia, July 3-6, 2000.

113. Зубер И.Е. Стабилизация дискретных нестационарных систем при управлении по выходу. // Автоматика и телемеханика, 2001.

114. Zuber I.E. Terminal control for nonlinear systems. // Preprints of the 5th IFAC Symposium " Nonlinear Control Systems" (S.-Petersburg, 4-6 July, 2001), P.~536-538.

115. Yakubovich V.A. Nonconvex optimization problems: the infinite-horizon linear-quadratic problems with quadratic constraints. // Systems \& Control Letters, 1992, V.~16, P.~13-22.

116. Якубович В.А. Об одном методе решения специальных задач глобальной оптимизации. // Вестн. СПбУ, Cер.~1, 1992, вып.~2 (N~8), С.~58-68.

117. Yakubovich V.A. Linear-quadratic optimization problems with quadratic constraints. // Proc. of the Second European Control Conf., the Netherlands, 1993, V.~1, P.~346-359.

118. Матвеев А.С. Лагранжева двойственность в теории невыпуклой оптимизации и модификации теоремы Теплица-Хаусдорфа. // Алгебра и Анализ, 1995, Т.~7, вып.5, С.~126-159.

119. Матвеев А.С. Критерии выпуклости образов квадратичных отображений в теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Дисс. док-ра физ.-мат. наук, СПб, 1998.

120. Matveev A.S. Spectral approach to duality in nonconvex global optimization. // SIAM J. Control and Optimization, 1998, V.~36, N~1, P.~336-378.

121. Матвеев А.С. Лагранжева двойственность в специальной невыпуклой задаче глобальной оптимизации. // Вестн. СПбУ, Сер.~1, 1996, вып.~2, N~8, С.~37-43.

122. Матвеев А.С. Лагранжева двойственность в невыпуклой оптимизации и модификации теоремы Теплицв-Хаусдорфа. // Докл. РАН, 1996, Т.~351, N~1, С.~19-23.

123. Matveev A.S., Yakubovich V.A. Nonconvex problems of global optimization. // St.Petersburg Math. J., 1993, V.~4, N~6, P.~1217-1243.

124. Matvee, A.S. and Yakubovich, V.A. Nonconvex global optimization problems in control theory // Journal of Mathematical Science, 2000, V.100, N~5, P.~2531-2563.

125. Matveev A.S., Yakubovich V.A. Nonconvex problems of global optimization: linear-quadratic control problems with quadratic constraints. // Dynamics \& Control, 1997, V.~7, N~2, P.~99- 134.

126. A.S.Matveev and V.A.Yakubovich. On a method of nonconvex global optimization. // Proc. of the Conf. on {\it Differential equations and their appli\-ca\-tions}, S.-Petersburg, Russia, 1996.

127. A.S.Matveev and V.A.Yakubovich. On a method of nonconvex global constrained optimization.// Proc. of the 4th Conf. {\it Multiple criteria and game problems under uncertainty}, Orechovo- Zuevo, Russia, 1996.

128. Матвеев А.С., Якубович В.А. Невыпуклые задачи глобальной оптимизации в теории управления. // Итоги науки и техники, серия {\it Современная математика и ее приложения}, ред. Р.В. Гамкрелидзе, Т.~60, С.~128–175.

129. V. Fomin. Optimal Filtering. V.~2: Spatio-Temporal Fields. Kluwer Acad. Publ., V.~481, 1999, 359 p.

130. В.Н.Фомин. Оптимальная~и~адаптивная фильтрация. СПб, изд-во С.-Петербургского университета, 2001~г., 400~с.

131. V. Fomin. Optimal Filtering. V.~1: Filtering of Stochastic Processes. Kluwer Acad. Publ., V.~481, 1998, 375 p.

132. A.E.~Barabanov. Canonical factorization and polynomial Riccati equations. // Europ. J. of Contr., 1997, N~1, P.~47-67.

133. A.E.~Barabanov. Operator approach to H- infinity control of delayed systems. // The 37th IEEE Conf. on Decision and Control, Florida, USA, December 16-18, 1998, P.~291-296.

134. A.E.~Barabanov, A.M.~Ghulchak. Operator approach to $H^\infty$ control of linear delayed systems. // European Control Conf., Karlsruhe, Germany, 1999, Section DM-1, 6~p.

135. A.E.~Barabanov, A.M.~Ghulchak. Numerical solution and operator approach to ${\cal H}^\infty$ control of linear delayed systems. // The 39th IEEE Conf. on Decision and Control, Sydney, 2000.

136. G.B.Afanassieva, A.E.Barabanov, T.I.Shtanenko. H-infinity filtering of linear delayed systems. // European Control Conference, Porto, Portugal, September, 4-7, 2001. Section Th- E08. 5~pp.

137. Г.Б.Афанасьева. Синтез оптимальных фильтров при запаздывании в возмущении. // 3-я конференция молодых ученых "Навигация и управление движением" (С.-Петербург, 12-14 марта 2001), 7~с.